均值滤波器和高斯滤波器的频率域模型
均值滤波器和高斯滤波器的频率域模型
简单而言，图像细节对应于高频信号。图像的大尺度特征对应于低频信号。值得注意的是随机的图像噪声通常对应于高频信号。
矩形函数的频率域模型
空间域模型
二维矩形函数 f(t, z) 定义为：
$$ f(t, z) = \begin{cases} A, & -\frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2}, \quad -\frac{Z}{2} \leq z \leq \frac{Z}{2} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$
其中 A 是幅度，T 和 Z 分别为 t 与 z 方向的宽度。若T > Z，则矩形在 t 方向上更长。
频率域模型
二维傅里叶变换定义为：
F(μ, ν) = ∬f(t, z) e−j2π(μt + νz) dt dz
将定义域代入得：
F(μ, ν) = ∫−Z/2Z/2∫−T/2T/2Ae−j2π(μt + νz) dt dz
由于积分可分离，写为： F(μ, ν) = A(∫−T/2T/2e−j2πμt dt)(∫−Z/2Z/2e−j2πνz dz)
对 t 积分： $$ \int_{-T/2}^{T/2} e^{-j 2\pi \mu t} \, dt = \frac{e^{-j 2\pi \mu t}}{-j 2\pi \mu} \Big|_{-T/2}^{T/2} = \frac{e^{-j \pi \mu T} - e^{j \pi \mu T}}{-j 2\pi \mu} = \frac{\sin(\pi \mu T)}{\pi \mu} $$
整理为：
∫−T/2T/2e−j2πμt dt = T ⋅ sinc(μT)
对 z 积分：
$$ \int_{-Z/2}^{Z/2} e^{-j 2\pi \nu z} \, dz = \frac{e^{-j 2\pi \nu z}}{-j 2\pi \nu} \Big|_{-Z/2}^{Z/2} = \frac{e^{-j \pi \nu Z} - e^{j \pi \nu Z}}{-j 2\pi \nu} = \frac{\sin(\pi \nu Z)}{\pi \nu} $$
整理为：
∫−Z/2Z/2e−j2πνz dz = Z ⋅ sinc(νZ)
将两个积分结果相乘：
F(μ, ν) = A[T ⋅ sinc(μT)][Z ⋅ sinc(νZ)] = ATZ ⋅ sinc(μT) ⋅ sinc(νZ)
因此，二维矩形函数的傅里叶变换为：
$$ \boxed{ F(\mu, \nu) = A T Z \cdot \text{sinc}(\mu T) \cdot \text{sinc}(\nu Z) } $$
其中：
- A 控制整体幅度；
- T 与 Z 分别决定频谱在 μ 与 ν 方向的主瓣宽度；
- 频谱的形状由两个 sinc 函数控制，且主瓣宽度 ∝ 1/T、1/Z；
其幅度谱为：
|F(μ, ν)| = ATZ ⋅ |sinc(μT)|⋅|sinc(νZ)|
由于 T > Z，sinc(μT) 的主瓣宽度（零点间距为 1/T）比 sinc(νZ) 更窄，因此在频率域中谱在 μ 方向更”收缩”（contracted）。
均值滤波器的频率域模型
空间域模型
二维均值滤波器的核 h(x, y) 可以看作一个矩形窗口函数：
$$ h(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{M^2}, & -\frac{M-1}{2} \leq x, y \leq \frac{M-1}{2} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$
它与矩形函数类似，只是进行了归一化（总能量为 1）。当核为方形时，T = Z = M；若为非方形（Mx × My），则可类比为 T = Mx, Z = My。
频率域模型
离散二维傅里叶变换可表示为：
$$ H(u, v) = \frac{1}{M^2} \sum_{x=-\frac{M-1}{2}}^{\frac{M-1}{2}} \sum_{y=-\frac{M-1}{2}}^{\frac{M-1}{2}} e^{-j 2\pi (ux/M + vy/M)} $$
由于可分离性：
$$ H(u, v) = \left( \frac{1}{M} \sum_{x=-\frac{M-1}{2}}^{\frac{M-1}{2}} e^{-j 2\pi ux/M} \right) \left( \frac{1}{M} \sum_{y=-\frac{M-1}{2}}^{\frac{M-1}{2}} e^{-j 2\pi vy/M} \right) $$
每个一维求和结果为：
$$ \sum_{x=-\frac{M-1}{2}}^{\frac{M-1}{2}} e^{-j 2\pi ux/M} = \frac{\sin(\pi u)}{\sin(\pi u / M)} $$
因此：
$$ H(u, v) = \frac{1}{M^2} \cdot \frac{\sin(\pi u)}{\sin(\pi u / M)} \cdot \frac{\sin(\pi v)}{\sin(\pi v / M)} $$
其中$\frac{\sin(\pi u)}{\sin(\pi u / M)}$ 是离散傅里叶变换中的 Dirichlet 核，它是连续 sinc 函数在离散情况下的对应物。它具有与连续 sinc 函数相似的性质：低通特性，周期性零点，主瓣和旁瓣结构，幅度随频率增加而衰减等。
与图像特征的联系
矩形函数的非方形性：当 T > Z 时，频谱在 μ 方向更窄、在 ν 方向更宽。这反映出空间域与频率域的反比关系（宽的函数 → 窄的谱）。
均值滤波器的方形性：标准均值滤波器通常为方形核（T = Z = M），其频率响应 H(u, v) 对称，主瓣宽度在 u 和 v 方向相同。若使用非方形核（Mx × My），则：
H(u, v) ∝ sinc(uMx) ⋅ sinc(vMy)
主瓣宽度分别为 1/Mx 与 1/My，这与矩形函数 f(t, z) 的频谱形状完全一致。
高斯滤波器的频率域模型
空间域定义
高斯滤波器的空间域核基于二维高斯函数，其定义为：
$$ h(x, y) = A e^{-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}} $$
其中：
- (x, y) 为空间坐标；
- σ 为标准差，控制平滑程度；
- A 为归一化因子，确保滤波核的总和为 1。
通常取：
$$ A = \frac{1}{2\pi\sigma^2} $$
因此：
$$ h(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}} $$
在离散情况下，核通常截取在有限窗口内并进行归一化。
频率域模型
(1) 二维傅里叶变换
二维傅里叶变换定义为：
H(u, v) = ∫−∞∞∫−∞∞h(x, y) e−j2π(ux + vy) dx dy
代入高斯核：
$$ H(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}} e^{-j 2\pi (u x + v y)} \, dx \, dy $$
由于高斯函数在 x 与 y 方向上可分离，可写为：
$$ H(u, v) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} e^{-j 2\pi u x} \, dx \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} e^{-j 2\pi v y} \, dy \right) $$
(2) 一维高斯函数的傅里叶变换
已知一维高斯函数 e−ax2 的傅里叶变换为：
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} e^{-j 2\pi u x} \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \, e^{-\frac{\pi^2 u^2}{a}} $$
这里 $a = \frac{1}{2\sigma^2}$，代入得：
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} e^{-j 2\pi u x} \, dx = \sqrt{2\pi\sigma^2} \, e^{-2\pi^2 \sigma^2 u^2} $$
同理：
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} e^{-j 2\pi v y} \, dy = \sqrt{2\pi\sigma^2} \, e^{-2\pi^2 \sigma^2 v^2} $$
(3) 合并结果
代入两方向积分结果：
$$ H(u, v) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} \cdot \sqrt{2\pi\sigma^2} \, e^{-2\pi^2 \sigma^2 u^2} \cdot \sqrt{2\pi\sigma^2} \, e^{-2\pi^2 \sigma^2 v^2} $$
化简得：
H(u, v) = e−2π2σ2(u2 + v2)
(4) 引入截止频率参数 D0
设截止频率参数定义为：
$$ D_0 = \frac{1}{\sigma} $$
代入上式得：
$$ H(u, v) = e^{-2\pi^2 \cdot \frac{1}{D_0^2} (u^2 + v^2)} = e^{-\frac{2\pi^2 (u^2 + v^2)}{D_0^2}} $$
为简化表示，通常将 2π2 吸收进归一化项中，并定义径向频率距离：
$$ D(u, v) = \sqrt{u^2 + v^2} $$
则标准化形式为：
$$ \boxed{ H(u, v) = e^{-\frac{D(u, v)^2}{D_0^2}} } $$
该表达式表明 H(u, v) 在原点处最大，随 D(u, v) 增大而指数衰减。
特性分析
(1) 低通特性
- 当 D(u, v) = 0 时，H(0, 0) = 1；
- 随着 D(u, v) 增大，H(u, v) 快速衰减；
- 有效抑制高频噪声与纹理。
(2) 平滑性
- 高斯函数在空间域和频率域中均为高斯形式；
- 其响应平滑、无振铃效应（无旁瓣），不同于矩形窗口引起的 sinc 振荡。
(3) 可调性
- 参数 $D_0 = \frac{1}{\sigma}$
控制截止频率：
- D0 越大 → 滤波范围越宽 → 保留更多高频信息；
- D0 越小 → 滤波范围越窄 → 平滑效果更强。
因此，高斯滤波器是一种在频率域上具有理想平滑特性的低通滤波器，是图像去噪与模糊处理中常用的核函数。
使用高斯滤波核下噪声压制与导数计算的简化
图像梯度的近似
如何应在离散像素点间计算图像梯度？图像梯度的近似实现定义了水平和垂直方向的梯度 Fx 和 Fy：
水平梯度：
$$ F_x(i, j) = \frac{F(i+1, j) - F(i-1, j)}{2} $$
垂直梯度：
$$ F_y(i, j) = \frac{F(i, j+1) - F(i, j-1)}{2} $$
F(i, j) 表示图像在位置 (i, j) 的像素值，可以是原始图像 I 或平滑后的图像 J。该式采用 中心差分法（central difference method） 近似一阶偏导数：
$$ \frac{\partial F}{\partial x} \approx \frac{F(i+1, j) - F(i-1, j)}{2}, \quad \frac{\partial F}{\partial y} \approx \frac{F(i, j+1) - F(i, j-1)}{2} $$
中心差分比前向差分或后向差分更准确，因为它同时利用两侧邻域的信息，能有效抵消一阶误差，在噪声存在时表现更稳定。
该梯度计算方法广泛应用于：
- 边缘检测（如 Sobel、Prewitt、Canny 算法）；
- 特征提取（如角点检测）；
- 与高斯滤波结合用于平滑后求梯度，抑制噪声干扰。
符号定义
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| I | 原始图像（raw image） |
| G | 高斯核（Gaussian kernel） |
| J = I ⊗ G | 高斯滤波后的图像（filtered image） |
高斯核的定义为：
$$ G(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}} $$
其中 σ 控制平滑程度。卷积 J = I ⊗ G 的作用是：
- 抑制高频噪声；
- 保留低频结构；
- 为后续梯度计算提供平滑输入。
卷积的导数性质
卷积运算满足导数可交换性，即：
$$ \frac{\partial (G \otimes I)}{\partial x} = \frac{\partial G}{\partial x} \otimes I $$
$$ \frac{\partial (G \otimes I)}{\partial y} = \frac{\partial G}{\partial y} \otimes I $$
证明如下
设：
J(x, y) = (G ⊗ I)(x, y) = ∫−∞∞∫−∞∞G(x − x′, y − y′)I(x′, y′) dx′ dy′
对 x 求偏导：
$$ \frac{\partial J}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} G(x - x', y - y') I(x', y') \, dx' \, dy' \right] $$
根据积分与微分可交换性（假设函数连续可导）：
$$ \frac{\partial J}{\partial x} = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial G(x - x', y - y')}{\partial x} I(x', y') \, dx' \, dy' $$
定义 $G_x = \frac{\partial G}{\partial x}$，则：
$$ \frac{\partial J}{\partial x} = G_x \otimes I $$
同理：
$$ \frac{\partial J}{\partial y} = G_y \otimes I $$
高斯核的导数
已知：
$$ G(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}} $$
其偏导数为：
$$ \frac{\partial G}{\partial x} = G(x, y) \left( -\frac{x}{\sigma^2} \right) $$
$$ \frac{\partial G}{\partial y} = G(x, y) \left( -\frac{y}{\sigma^2} \right) $$
由此得到高斯梯度滤波器（Gradient of Gaussian, GoG）：
- Gx 对应水平方向的边缘响应；
- Gy 对应垂直方向的边缘响应。
导数核同样平滑、连续且无振铃效应，比简单的差分算子更抗噪。
综合应用流程
梯度计算： $$ J_x = \frac{\partial J}{\partial x} = G_x \otimes I $$
$$ J_y = \frac{\partial J}{\partial y} = G_y \otimes I $$
等价于先求高斯核导数再卷积原图。
边缘提取： 计算梯度幅值与方向： $$ |\nabla J| = \sqrt{J_x^2 + J_y^2} $$
$$ \theta = \tan^{-1}\left( \frac{J_y}{J_x} \right) $$
总结
| 项目 | 说明 |
|---|---|
| 实现 | 使用中心差分法近似图像梯度：Fx, Fy |
| 符号 | I：原始图像，J = G ⊗ I：高斯平滑结果 |
| 性质 | 卷积与导数可交换：$\frac{\partial J}{\partial x} = G_x \otimes I$ |
| 优势 | 抗噪性强，梯度连续，适用于边缘检测 |
核心结论：
$$ \boxed{ \frac{\partial (G \otimes I)}{\partial x} = \left( \frac{\partial G}{\partial x} \right) \otimes I, \quad \frac{\partial (G \otimes I)}{\partial y} = \left( \frac{\partial G}{\partial y} \right) \otimes I } $$
这一定律为高斯梯度滤波、Canny 算子等边缘检测算法提供了理论基础。